El Doctor Manuel Elgueta Dedes fue hijo del matrimonio de dos profesores. Su padre, Humberto Elgueta, fue un reconocido dirigente del Colegio de Profesores, entidad que presidió en los años ochenta, y su madre fue profesora de matemática del liceo José Victorino Lastarria. Se casó con la Doctora María Angélica Astaburuaga, también matemática.
Realizó sus primeros estudios de Matemáticas en la Universidad de Chile a fines de la década de los 60 y es uno de los primeros licenciados en matemáticas de la Facultad de Ciencias de esa universidad. Obtuvo su grado de Ph.D. en la University of Wisconsin, Madison, USA en 1975.
En su tesis de doctorado, el Profesor Manuel Elgueta trabajó en Varias Variables Complejas, precisamente en la extensión de funciones holomorfas a dominios pseudo-convexos.
El Profesor Elgueta ingresó como docente al Departamento de Matemática de la Facultad de Matemáticas de la Pontificia Universidad Católica de Chile en el año 1978, contribuyendo con su conocimiento, compromiso y dedicación al quehacer científico y docente. Se acogió a retiro en el año 2017. Fue un excelente profesor, siempre recordado por sus estudiantes con mucho cariño y valoración.
Su investigación se centró en Ecuaciones Diferenciales Parciales, particularmente en Problemas de Difusión. Trabajó durante más de 30 años en el tema, con una estrecha colaboración con la profesora Carmen Cortázar, además de numerosos otros colaboradores.
En sus primeros trabajos estudió el comportamiento de soluciones de ecuaciones de difusión o difusión-reacción de medios porosos. Estas ecuaciones modelan difusiones, como por ejemplo el comportamiento del agua en diques, petróleo en la arena, gas en recipientes, entre otros. Es así como el Dr. Elgueta derivó en el estudio de las ecuaciones de difusión no lineales. En este tema estudió problemas de existencia, unicidad, y principalmente comportamiento de soluciones.
Los temas que más le interesaron fue el comportamiento para tiempos largos y cortos, cuándo existe explosión, si las soluciones permanecen acotadas, si los soportes son acotados, entre otros. Ejemplo de esto fue su bien conocido trabajo “How long does it take for a gas to fill a porous container?” (1994, Proc. Amer. Math. Soc., con Cortázar) . Dos de sus resultados más interesantes para aplicaciones fueron: el estudio de la estabilidad de las soluciones, es decir, si para cambios pequeños de los datos cambian poco las soluciones; el otro fue el estudio del problema inverso, es decir, cuando leyendo la solución en los bordes del dominio se puede determinar cómo es la ecuación.
Relacionado con el problema anterior fue el estudio de los correspondientes problemas estacionarios, donde las preguntas nuevamente son existencia y unicidad, y donde demostró que las respuestas, en este caso, son muy distintas a las anteriores.
Manuel Elgueta también estudió soluciones de difusión no-local: problemas donde la difusión no depende solo del comportamiento en el punto, sino del comportamiento de la solución en alguna región. Esto sirve para modelar, por ejemplo, difusión de poblaciones tanto humanas como de otras especies animales. En este problema, además de las preguntas de existencia, unicidad y comportamiento en infinito, estudió cuándo se puede aproximar la solución de la ecuación del calor por problemas no-lineales. Esto es muy interesante desde el punto de vista de las aplicaciones, pues los problemas no-lineales son muchísimo más fáciles desde un punto de vista numérico.
En estos trabajos tuvo muchos colaboradores, tanto nacionales como extranjeros; ellos lo apreciaron como matemático y como persona, y muchos terminaron siendo sus amigos.
Fue socio activo de la SOMACHI desde sus inicios, y asistía constantemente a los simposios, congresos y encuentros que se organizaban, tanto como conferencista como organizador de sesiones. Su cálida presencia, su bonhomía y sus agudas observaciones matemáticas se recordarán para siempre.